Solution of non-linear Equations

حلول المعادلات اللاخطية

Solution of non-linear Equations

المقدمة                                    

           ان حل المعادلات الجبرية والمعادلات المتسامية هو احد الاغراض التي تزاول في الكثير من الاحيان في الرياضيات التطبيقية ويتطلب عمليات حسابية متعبة جدا, والمقصود بالمعادلة اللاخطية هي أي معادلة تحتوي على قوى مختلفة ل(x) او دوال مثلثية او اسية او لوغارتمية او ما يطلق عليها (transcendental function ) فعندما يراد ايجاد جذور للمعادلة التالية

2x²-4x-3=0                                                                                                                  

                                                                                                                                                                                                         يتضح جليا من هذه المعادلة بانها معادلات لا خطية من الدرجة الثانية ويمكن استخدام طريقة الدستور لإيجاد جذري من هذه المعادلة وبالصيغة التالية       

X₁= 1/8 (5+30^0.5)             and                    x₂= 1/8 * (5-3^0.5)

   في حين لو حاولنا إيجاد جذور المعادلة

3x+2x³ -4x² +6x-5=0                             

او المعادلة

x =3 cos x

 نجد انه لاتوجد طريقة نظرية او قانون مباشر لايجاد جذور مثل هذه معادلات لذلك يتم اللجوء الى الطرق العددية التقريبية لايجاد الحلول او الجذور لهذه المعادلات وهذه الحلول تكون تقريبية و غير مضبوطة بالمقارنة لو كان هناك حلول نظرية لهذه المعادلات و تعتمد طريقة الحل العددي بشكل عام على دقة الخطأ الذي يتم التوصل الية او ما يسمى بال (degree of accuracy) على أي حال يمك اعتماد الطرق العددية المعتمدة كافضل وسيلة لايجاد الحل التقريبي خاصة اذا كانت المعادلات غير خطية و لايمكن إيجاد حلولها بالطرق النظرية و على هذا الأساس توجد طرق عددية متعددة لحل مثل هذه المعادلات وبما ان الجذور التي يمكن تحديدها عدديا هي بالأساس يمكن تحديدها تقريبيا بالرسم او الحساب التقريبي وذلك بتعويض قيمة معينة للجذر ومن ثم حساب قيمة الدالة لهذه المعادلة فإذا كان هناك تغير في قيمة الدالة من موجب الى سالب او بالعكس أي بمعنى اخر ان هناك قطع لهذه الدالة لاحداثي (x) وحسب طبيعة الجذر المطلوب ايجاده و الطرق العددية المعتمدة كثيرة تترتب طبيعية اختيارها على السرعة التي يمكن التوصل بها الى حالة التقارب (convergence) لما يوفر وقتا في العمليات الحسابية على الحاسبة و اهم هذه الطرق:                                                                                           

1-   طريقة التكرار البسيط simple iterative method

2-   طريقة الانشطار Bisection Method

3-   طريقة نيوتن رافسن Newton Raphson